CLT255: Ensimmäinen luentokerta

Kieli ja satunnaisuus

Onko kieli olennaisesti satunnaista? Onko kielen käytössä jotakin, joka olisi satunnaista?

  • sanan pituus (montako kirjainta), virkkeen pituus (montako sanaa)
  • tiettyjen sanojen välisen tauon pituus tai tiettyjen äänteiden kesto
  • tunnistaako koehenkilö äänitetyn sanan oikein tai väärin
  • viive ennen kuin koehenkilö ymmärtää annetun lauseen
  • valitseeko kirjoittaja sanan "sekä" vai "ja" tietynlaisessa rakenteessa
  • sanooko "omenoita" vai "omenia" tai "maideni" vai "maitteni"

Mitä satunnaisuus on?

Satunnaisuudelle on ominaista se, että monta kertaa toistuvan ilmiön tulosta ei voida etukäteen tarkkaan ennustaa.

Esimerkki: rahanheitto (kruuna 0 tai klaava 1)

  • Ei arvaa sanoa kumpi tulee, kun kerran heittää. Sanotaan, että on yhtä todennäköistä, että tulee kruuna tai klaava.
  • Jos heittää rahaa 10 kertaa peräkkäin, voi sanoa jotakin: esimerkiksi, että kaikissa kymmenessä heitossa tulisi klaava, olisi epätodennäköistä. Saisimme yrittää monta kertaa, ennen kuin saisimme kymmenessä heitossa kymmenen klaavaa.
  • Todennäköisyys, että tulee 9 klaavaa on suurempi kuin että tulee 10 klaavaa siksi, että yhdeksän klaavan tulos voi tulla kymmenellä eri tavalla (se ainoa kruuna voi olla ensimmäinen, toinen, jne.). Vastaavasti 8 klaavaa voi toteutua 45 tavalla. Ensimmäinen klaava voi olla mikä tahansa paitsi viimeinen. Jos se on ensimmäinen, toiselle klaavalle on 9 vaihtoehtoa, jos toinen, niin 8 vaihtoehtoa jne. Vaihtoehtoja on siis kaikkiaan 9+8+7+6+5+4+3+2+1 eli 45.
  • Kaikki heittosarjat ovat yhtä todennäköisiä, siis 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 on yhtä todennäköinen kuin pelkistä klaavoista koostuva 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1. Neljästä klaavasta koostuvia sarjoja on vain enemmän.
  • Yhdeksan klaavan tuloksen todennäköisyys olisi siis 10-kertainen verrattuna kymmenen klaavan todennäköisyyteen ja kahdeksan klaavan todennäköisyys 45-kertainen.
  • Intuitiivisesti tuntuu siltä, että useimmiten kymmenellä heitolla tulisi 3-7 klaavaa ja että jos pitäisi veikata kuinka monta klaavaa tulee, 5 olisi paras veikkaus. Miten näitä erilaisten sarjojen määriä voisi laskea?

Kombinatoriikan alkeita

  • Kuinka monta tapaa saada esimerkiksi neljä klaavaa kymmenestä? Ajatellaan ensin niin, että ensin voisimme valita minkä tahansa kymmenestä, sitten minkä tahansa jäljellä olevasta yhdeksästä, sitten jäljellä olevasta kahdeksasta jne. kunnes kaikki neljä on valittu, siis saisimme $10*9*8*7$ sarjaa. Tässä on kuitenkin liikaa, sillä olemme ottaneet saman sarjan useampaan kertaan, esim. valitsemalla ensin kolmannen, sitten viidennen, kuudennen ja kymmenennen tai samat käänteisessä järjestyksessä. Nämä neljä klaavaa ovat voineet tulla valituiksi eri järjestyksissä: ensin mikä tahansa neljästä, sitten mikä tahansa jäljellä olevista kolmesta ja sitten mikä tahansa jäljellä olevasta kahdesta, siis $4*3*2*1$ tavalla, mitä merkitään kertomana $4!$. Kertoman merkintää käyttäen $10*9*8*7$ voidaan ilmaista osamääränä $10!/6!$, jolloin neljän klaavaa kymmenen heiton sarjassa esiintyisi $\frac{10!}{6! 4!}$ eli yleisempänä kaavana kymmenelle heitolle $k$ klaavaa: $\frac{10!}{(10-k)!k!}$.
  • Voimme tarkistaa edellä toisella tavalla tehdyt laskelmat. Yhdeksän klaavaa kymmenestä: 10!/(9!*1!) = 10. Vastaavasti kahdeksan klaavaa kymmenestä: 10!/(8! * 2!) = 10*9/2 = 45.
  • Yleinen kaava olisi siis $\frac{n!}{k!(n-k)!} = {n \choose k}$ sille, että valitaan k alkiota n:stä.

Suurten lukujen laista

  • mitä useamman kerran heittää, sitä lähemmäksi puolikasta kruunien ja klaavojen suhde menee

Satunnaisuus fysiikassa

  • monet fysikaalisen luonnon ilmiöt koostuvat suuresta määrästä pieniä toisistaan riippumattomia sattumanvaraisia valintoja, esim. rahanheitto koostuu monesta sattumanvaraisesta liikkeestä, joiden yhteisvaikutus on ennalta vaikeasti laskettavissa; samoin esim. tykin ammus ei mene aina samaan paikkaan, vaikka kuinka yritettäisiin tykin putkea pitää samassa asennossa
  • radioaktiivisen aineen atomit hajoavat todennäköisyyksien mukaisesti, noudattaen ns. puoliintumisaikaa
  • Heisenbergin epätarkkusperiaate: ilmiöitä ei voida havaita, eivätkä ne tapahdu tarkalleen (jos tietäisit tarkan ajan, et voi tietää tarkkaa paikkaa ja päinvastoin)

Satunnaisuus sosiaalitieteissä

  • Kyselytutkimuksessa saadut vastaukset ovat osin tiettyjen trendien mukaisia ja osin satunnaisia (vuositulot, koulutus ym. voivat kohtuullisesti ennustaa asenteita tms.)

Havaintojen esittäminen

  • Satunnaisuutta ilmentäviä asioita havaittaessa tulee siis samasta ilmiöstä tai asiasta monia havaintoja (esim. useat henkilöt ovat vastanneet samanlaiseen kysymykseen tai liukuhihnalta tulevista tuotteista on tehty mittauksia)
  • Vastaavasti samoista yksilöistä (ihmisistä tai liukuhihnalta tulevista tuotteista) on usen havaittu tai mitattu useita eri asioita (esim. pitääkö jäätelöstä ja pitääkö Salatuista elämistä tai paljonko tuote painaa ja kuinka leveä se on)
  • Sosiaalitieteilijät näkevät asiat yleensä ns. havaintomatriisina, jossa on havaintoyksiköitä (kuten koehenkilöitä) ja muuttujia (kuten vastauksia tiettyyn kysymykseen).
  • Havaintomatriisi on yleispätevä esitysmuoto, joka ei ota kantaa siihen, millaisesta ilmiöstä tai millaisia suureita siitä on havaittu.
  • Toki havaittavat asiat voivat olla erilaatuisia:
    • oikein/väärin,
    • adjektiivi/pronomini/substantiivi/numeraali/verbi/partikkeli,
    • kivikausi/pronssikausi/vanha aika/keskiaika/uusi aika/nykyaika,
    • seitsemäntoista kertaa,
    • 125,39 grammaa.

Tehtävä 1:

Keksi neljä "Kieli ja satunnaisuus" -otsikon alla olevien esimerkkien kaltaista kieleen liittyvää satunnaisuutta sisältävää ilmiötä ja yksi kieleen liittyvä satunnainen ilmiö, joka on mieluusti vähän toisenlainen kuin siellä olevat esimerkit.


-- KimmoKoskenniemi - 2011-08-26

Topic revision: r1 - 2011-08-26 - KimmoKoskenniemi
 
This site is powered by the TWiki collaboration platform Powered by PerlCopyright © 2008-2018 by the contributing authors. All material on this collaboration platform is the property of the contributing authors.
Ideas, requests, problems regarding TWiki? Send feedback